Apa yang dimaksud dengan notasi Sigma? Yuk, pelajari selengkapnya tentang notasi Sigma, meliputi pengertian, bentuk umum, sifat-sifat, dan contohnya berikut ini!
—
Pernah nggak sih, waktu kamu lagi belajar matematika, tiba-tiba kamu melihat satu simbol yang bentuknya seperti huruf E kapital? Kira-kira simbol itu namanya apa ya? Lalu, artinya apa? Ada yang bisa jawab?
∑
Nah, simbol matematika yang satu ini namanya Sigma,
guys
! Di artikel kali ini, kita akan belajar materi
notasi Sigma
, jadi siap-siap melihat simbol ini dari awal sampai akhir artikel, ya! Semoga nggak eneg duluan :p
Sebelum masuk lebih jauh ke materi, kita ketahui dulu yuk, pengertian dari notasi Sigma!
Pengertian Notasi Sigma
Notasi Sigma adalah
penyingkatan penulisan dari sebuah deret
. Jadi, kalau kita punya suatu deret angka, kita bisa memanfaatkan notasi Sigma ini untuk mempersingkat penulisan deret tersebut supaya nggak terlalu panjang. Contohnya kaya gimana tuh, kak? Nah, sebelum masuk ke contoh, kamu harus tahu dulu nih,
bentuk umum
dari notasi Sigma.
Baca juga:
Logika Matematika, Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi & Biimplikasi
Bentuk Umum Notasi Sigma
Bentuk umum notasi Sigma kaya gini, nih:
Cara membaca notasi Sigma di atas yaitu:
“Sigma dari
i = m
sampai
n
dari
u
i
”
. Artinya, notasi Sigma di atas merupakan
penjumlahan semua
u
i
untuk nilai
i
dari
m
sampai
n
.
Eits
, ingat ya, simbol ini namanya Sigma, bukan E, jadi jangan dibaca “E” gitu ya,
hehe
..
Nah, udah tahu bentuk umumnya, sekarang kita masuk ke contoh ya, biar kamu bisa lebih paham.
Contoh Notasi Sigma
Kita belajar dari contoh yang sederhana dulu, ya! Misalnya, kakak punya notasi Sigma seperti di bawah ini:
Maksud dari notasi Sigma di atas adalah
jumlahkan semua
i
dimulai dari
i = 3
sampai
i = 6
. Sehingga, jika notasi tersebut kita jabarkan, maka akan menjadi seperti berikut:
Sudah mulai paham ya, maksud dari notasi Sigma? Kita coba satu contoh lagi, ya!
Maksud dari notasi Sigma di atas adalah
jumlahkan semua
(i + 1)
dimulai dari
i = −2
sampai
i = 1
. Sehingga, jika notasi tersebut kita jabarkan, maka akan menjadi seperti berikut:
“Oke, sudah paham nih, Kak! Tapi, btw, kok hasil perhitungan jumlahnya nggak ditulis juga, Kak?”
Boleh-boleh aja kok, kalau mau ditulis. Tapi, di artikel kali ini, kita akan lebih fokus kepada
penjabaran notasi Sigmanya
dulu, ya. Jadi, untuk hasil perhitungan jumlahnya nggak perlu dihitung atau ditulis dulu, biar kamu nggak bingung. Okaayy!
Sifat-Sifat Notasi Sigma
Notasi Sigma memiliki beberapa
sifat
, di antaranya yaitu
dapat diubah indeksnya
dan dapat
diubah penulisan notasinya
. Maksudnya kaya gimana, kak? Perhatikan penjelasan berikut, ya!
Baca juga:
4 Metode Pembuktian Matematika
1. Mengubah Indeks Notasi Sigma
Indeks pada notasi Sigma bisa kita ubah sesuai kebutuhan, lho! Jadi, indeksnya
nggak wajib menggunakan huruf
i
. Bisa juga menggunakan huruf lainnya, seperti
k
,
l
, atau
a
. Tapi, saat kita mengubah indeksnya menjadi huruf lain, pastikan
indeks dalam kalimat matematikanya diganti juga dengan huruf yang sama
, dan huruf yang digunakan untuk mengganti indeks
tidak sama dengan huruf yang digunakan untuk menyatakan batas atas
pada notasi Sigma tersebut.
Contohnya seperti ini:
Seperti yang tertera pada gambar, huruf
i
pada indeks, bisa kita
ganti menjadi huruf lain
, asalkan huruf pada kalimat matematikanya juga diganti dengan
huruf yang sama
. Nah, pada contoh di atas, kita ganti huruf indeksnya dari
huruf
i
menjadi
huruf
k
.
Lalu, pada notasi Sigma tersebut kan batas atasnya dinyatakan menggunakan
huruf
n
, berarti kalau huruf indeksnya mau diubah, jangan diubah menjadi huruf
n
juga ya, supaya nggak bertabrakan.
Kalau sudah diganti hurufnya, terus apa yang terjadi? Apakah nilainya akan berubah?
Jawabannya: nilainya akan
tetap sama
ya,
guys
! Nggak berubah. Makanya pada gambar di atas, antara notasi Sigma yang menggunakan huruf
i
dan notasi Sigma yang menggunakan huruf
k
, ada
tanda sama dengannya
, karena nilai dari kedua notasi Sigma tersebut adalah sama.
Sudah paham ya, sampai sini? Kalau sudah, kita lanjut yuk!
2. Mengubah Notasi Sigma
Selain indeksnya yang diubah, kita juga bisa
mengubah bentuk dari notasi Sigma
. Ada
dua cara
mengubah notasi Sigma, yakni
dipisahkan menjadi
penjumlahan
dua atau lebih notasi Sigma dan
dipisahkan suku
pertama atau terakhirnya. Kita bahas satu per satu, yuk!
a. Dipisahkan menjadi penjumlahan dua atau lebih notasi Sigma
Notasi Sigma dapat dipisah atau dipecah menjadi dua atau lebih notasi Sigma yang dijumlahkan. Contoh:
Coba perhatikan notasi Sigma di atas! Batas bawah dari indeksnya adalah
1
, sementara batas atasnya adalah
n
. Nah, kita bisa pisahkan notasi Sigma ini menjadi
dua
notasi Sigma yang dijumlahkan.
Notasi Sigma pertama
, batas bawahnya adalah
1
dan batas atasnya adalah
m
. Kemudian,
notasi Sigma yang kedua
, batas bawahnya adalah lanjutan dari batas atas notasi Sigma yang pertama, yaitu
m + 1
dan batas atasnya adalah
n
. Jadi, antara
batas atas notasi Sigma yang pertama
dengan
batas bawah notasi Sigma yang kedua
, nilainya
harus berurutan
, ya.
Kalau dipisahnya jadi 3 atau lebih notasi Sigma gimana kak? Apakah batas atas dan batas bawahnya harus berurutan juga dari notasi Sigma satu ke notasi Sigma lainnya?
Yap! Harus berurutan juga, ya. Karena pada notasi Sigma, semua nilai dari rentang batas bawah dan batas atas kan harus dijumlahkan semua. Jadi, jangan sampai ada nilai yang terlewat.
Selain itu, kalimat matematika pada setiap notasi Sigma juga harus sama, ya. Kayak contoh di atas kan kalimat matematikanya adalah
u
i
, maka setiap notasi Sigma juga harus memiliki kalimat matematika yang sama, yaitu
u
i
.
Baca juga:
Mempelajari Konsep dan Nilai Suku Banyak (Polinomial)
Biar makin paham, kakak kasih contoh implementasi menggunakan angka, ya! Perhatikan contoh berikut:
Coba perhatikan! Notasi Sigma di ruas kiri bisa dipisah menjadi penjumlahan dari dua notasi Sigma yang berada di ruas kanan. Untuk memahami ini, kita fokus dulu ke
notasi Sigma yang di ruas kiri
, ya. Kalau kita jabarkan notasi Sigma tersebut, maka akan menjadi seperti ini:
Nah, dari penjabaran panjang tersebut, bisa kita bagi 2 nih, yaitu dari indeks 2 sampai 6 menjadi satu notasi Sigma sendiri, lalu dari indeks 7 sampai 10 menjadi satu notasi Sigma sendiri, seperti berikut:
Jadi, jika dua notasi Sigma di atas digabungkan, maka akan menjadi seperti berikut:
Sudah paham, ya? Intinya, ketika kamu mau memisah notasi Sigma menjadi penjumlahan dua atau lebih notasi Sigma, ada dua hal yang harus kamu perhatikan, yaitu:
Batas atas
dan
batas bawah
dari satu notasi Sigma ke notasi Sigma berikutnya
harus berurutan
Kalimat matematika
pada setiap notasi Sigma
harus
sama
Lanjuutt, ke sifat berikutnya~
b. Dipisahkan suku pertama atau terakhir
Notasi Sigma dapat dipisah suku pertama atau terakhirnya. Contoh:
Berbeda dari pemisahan yang tadi, pengubahan bentuk di sini dilakukan dengan
memisahkan suku
dari suatu notasi Sigma. Untuk contoh di atas, yang dipisah adalah
suku terakhirnya
, yaitu
u
n
.
Kita gunakan contoh implementasi menggunakan angka juga ya, biar penjelasannya lebih mudah dipahami! Perhatikan notasi Sigma berikut:
Kita fokus dulu ke notasi Sigma yang di ruas kiri, ya. Kalau kita jabarkan notasi Sigma tersebut, maka akan menjadi seperti ini:
Nah, kalau udah begini, keliatan kan mana suku terakhirnya? Yap, betul! Suku terakhirnya adalah
(2n + 3)
.
Kalau kita
take out
dulu suku terakhirnya, maka akan menjadi seperti berikut:
Nah, setelah tahu notasi Sigma dari deret tanpa suku terakhirnya, sekarang tinggal kita masukin lagi deh, suku terakhir yang tadi dalam bentuk penjumlahan. Sehingga, akan menjadi seperti berikut:
Okeeii, selesaii! Sekarang biar kamu makin luwes dan sat set sat set sama materi notasi Sigma, kita kerjakan latihan soal, yuk!
Baca juga:
Kedudukan Titik dan Garis Lurus terhadap Lingkaran
Contoh Soal Notasi Sigma
Diketahui notasi Sigma sebagai berikut:
Ubahlah bentuk notasi Sigma tersebut berdasarkan:
a. Pemisahan penjumlahan dua notasi Sigma (bebas memecah batas atas dan batas bawah indeksnya)
b. Pemisahan suku terakhirnya
Penyelesaian:
a. Pemisahan penjumlahan dua notasi Sigma (bebas memecah batas atas dan batas bawah indeksnya)
Karena pada soal kita diharuskan memecahnya menjadi
dua notasi Sigma
, tapi boleh
bebas memecah batas atas dan batas bawah indeksnya
, berarti kita tentukan dulu di awal, nih. Misalnya, kita tentukan untuk notasi Sigma pertama kita buat dari indeks −4 sampai −3, lalu selanjutnya dari indeks −2 sampai −1. Kemudian, kita bisa jabarkan dulu notasi Sigmanya, lalu kita pisahkan menjadi dua notasi Sigma dengan batas atas dan batas bawah yang sudah kita tentukan. Sehingga, bisa kita tuliskan seperti ini:
Jadi, hasil pemisahannya adalah
b. Pemisahan suku terakhirnya
Untuk memisahkan suku terakhirnya, kita bisa jabarkan terlebih dahulu notasi Sigmanya, kemudian buat notasi Sigma dari suku awal hingga suku n − 1, supaya suku terakhirnya terpisah dari notasi Sigmanya. Maka, bisa kita tuliskan seperti ini:
Jadi, hasil pemisahannya adalah
—
Itu dia materi tentang notasi Sigma, meliputi pengertian, bentuk umum, sifat-sifat, dan contohnya. Gimana, seru kan? Mau belajar lebih jauh tentang notasi Sigma? Yuk, belajar dari video pembahasan di
ruangbelajar
! Ada kuis dan latihan soalnya juga, lho!